这张PPT展示了留数定理在计算实积分时的三种最经典应用场景。这三类积分在复变函数考试中是必考内容。
为了方便你理解和记忆，我将这三类积分的核心思路、变换公式和记忆口诀总结如下：
一、 三角函数积分 (单位圆法)
形式：$\displaystyle \int_0^{2\pi} R(\cos \theta, \sin \theta) d\theta$ （特点：积分区间是 $0$ 到 $2\pi$，被积函数是有理三角函数）
核心逻辑： 把实数积分转化为复平面单位圆 ($|z|=1$) 上的围道积分。
变换公式 (背诵)： 令 $z = e^{i\theta}$，则：
- 微分换元：$d\theta = \frac{dz}{iz}$
- 余弦换元：$\cos \theta = \frac{z + z^{-1}}{2} = \frac{z^2+1}{2z}$
- 正弦换元：$\sin \theta = \frac{z - z^{-1}}{2i} = \frac{z^2-1}{2iz}$
计算公式：
$$ \text{原积分} = 2\pi i \sum \text{Res}[f(z), z_k] $$注意：这里的 $z_k$ 必须是位于单位圆内部 ($|z_k|<1$) 的极点。
记忆口诀：
区间二派做代换，单位圆内找极点。 $d\theta$ 变 $dz$ 除 $iz$，三角全变 $z$ 分式。
二、 无穷区间有理积分 (上半平面法)
形式：$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} R(x) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} dx$ （特点：上下限是无穷，且 $R(x)$ 是分式）
收敛条件：分母次数比分子至少高 2 次 ($n \ge m+2$)，且实轴上无奇点。
核心逻辑： 补上一个上半平面的大半圆，利用大圆弧积分趋于 0 (大圆引理)，将实轴积分转化为闭合回路积分。
计算公式：
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} R(x) dx = 2\pi i \sum \text{Res}[R(z), z_k] $$注意：这里的 $z_k$ 必须是位于上半平面 ($\text{Im } z > 0$) 的极点。
记忆口诀：
上下无穷做有理，分母高二无顾虑。 只取上半平面点，二派 $i$ 乘留数和。
三、 傅里叶型积分 (若丹引理法)
形式：$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} R(x) e^{iax} dx \quad (a>0)$ 或者 $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) \cos(ax) dx$ 及 $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) \sin(ax) dx$
收敛条件：分母次数比分子至少高 1 次 ($n \ge m+1$)。这是比第二类更宽松的条件，因为 $e^{iax}$ 提供了衰减。
核心逻辑： 利用 $e^{iaz}$ 在上半平面的衰减特性（若丹引理），同样补上半圆。如果是求 $\cos$ 或 $\sin$ 的积分，最后取实部或虚部即可。
计算公式：
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} R(x) e^{iax} dx = 2\pi i \sum \text{Res}[R(z)e^{iaz}, z_k] $$注意：
- 只找上半平面的极点。
- 计算留数时，千万别忘了把 $e^{iaz}$ 带进去算！
记忆口诀：
震荡因子 $e$ 指数，若丹引理来相助。 分母高一就能积，千万别忘乘 $e^{iz}$。
总结对比表 (考前必看)
| 类型 | 积分区间 | 关键代换/方法 | 极点选择范围 | 结果系数 |
|---|---|---|---|---|
| 三角型 | $[0, 2\pi]$ | $z=e^{i\theta}$ | 单位圆内 ($ | z |
| 有理型 | $(-\infty, +\infty)$ | 大圆围道 | 上半平面 ($\text{Im } z > 0$) | $2\pi i$ |
| 震荡型 | $(-\infty, +\infty)$ | 乘 $e^{iax}$ + 若丹引理 | 上半平面 ($\text{Im } z > 0$) | $2\pi i$ |
特别提醒： 如果是 $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) \cos(ax) dx$，做题时要先计算 $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) e^{iax} dx$，算出复数结果后，取实部 (Re) 才是最终答案。