好的，我们来构建一份以公式为骨架，辅以物理图像和推导思路的量子统计核心笔记。这份材料将聚焦于玻色子、光子和费米子这三大家族。

基础前置：态密度函数 (DOS) $g(E)$

态密度是计算一切宏观量的地基，它描述了系统在能量空间中“空房间”的分布情况。

物理图像

想象一座能量旅馆。态密度 $g(E)$ 告诉你在能量为 $E$ 的楼层上，单位能量高度内有多少个可供入住的房间（量子态）。它只关心有多少房间，而不关心是否有人入住（那是由分布函数决定的）。

• 对于普通粒子，能量越高，$E$ 楼层附近的房间就越多。
• 对于光子，能量越高的楼层，房间数量增长得更快。

推导思路

1. k空间量子化: 将粒子限制在体积为 $V=L^3$ 的盒子里，其波矢 $\vec{k}$ 是量子化的，每个允许的k点在k空间占据的体积为 $(2\pi/L)^3 = (2\pi)^3/V$。
2. k空间态密度: 在k空间中，单位体积内的态点数为 $V/(2\pi)^3$。
3. 球壳内的态数: 半径从 $k$到 $k+dk$ 的球壳体积为 $4\pi k^2 dk$。此球壳内的总态数为 $dN = g_s \cdot \frac{V}{(2\pi)^3} \cdot 4\pi k^2 dk$ ($g_s$是自旋简并度)。
4. 能量转换: 利用能量-动量关系 $E(k)$，通过链式法则 $g(E)dE = dN$，求得 $g(E) = dN/dE$。

核心公式

1. 有质量的非相对论粒子 (电子、玻色原子): $E=p^2/2m = \hbar^2 k^2/2m$

   • hbar (ħ) 形式: $$ g(E) = V \frac{g_s}{4\pi^2} (\frac{2m}{\hbar^2})^{3/2} \sqrt{E} $$
   • h 形式 ($h=2\pi\hbar$): $$ g(E) = V g_s \frac{4\pi m}{h^3}\sqrt{2mE} $$ 关键结论: $g(E) \propto \sqrt{E}$

2. 无质量的相对论性粒子 (光子、声子): $E=pc = \hbar k c$

   • hbar (ħ) 形式: $$ g(E) = V \frac{g_s}{2\pi^2 c^3 \hbar^3} E^2 $$
   • h 形式: $$ g(E) = V g_s \frac{8\pi}{c^3 h^3} E^2 $$ 关键结论: $g(E) \propto E^2$

1. 理想玻色气体

1.1 基本性质与分布

• 粒子: 遵循玻色-爱因斯坦统计的整数自旋粒子 (玻色子)，全同不可分辨。
• 分布函数: 描述能量为E的态被粒子占据的平均数。 $$ f_{BE}(E) = \frac{1}{e^{(E-\mu)/k_B T} - 1} $$ 分母中的 -1 体现了玻色子“喜欢扎堆”的倾向。
• 化学势 $\mu$: 粒子数守恒，但必须满足 $\mu \le E_{min}$。通常取基态能量 $E_0=0$，则 $\mu \le 0$。否则基态占据数会为负，无物理意义。

1.2 玻色-爱因斯坦凝聚 (BEC)

物理图像

在高温时，玻色子像一群精力旺盛的学生，分散在操场（激发态能级）的各个角落。当温度降低时，学生们开始犯懒，倾向于聚集到操场门口（基态能级）最低洼的地方休息。当温度低到临界温度 $T_C$ 时，操场上（激发态）已经容纳不下所有想休息的学生了，多出来的学生只能被迫全部挤在门口那一个点（基态）上，形成一个密度极高的“人堆”。这个宏观数量的粒子占据同一个量子态的现象就是BEC。

关键结论与公式

1. BEC发生条件: 当温度 $T$ 降低到临界温度 $T_C$ 以下时，激发态能级“饱和”，无法容纳所有粒子。

2. 临界温度 $T_C$ 推导思路:

   • 总粒子数 $N = N_0 + N_{ex}$ (基态粒子数 + 激发态粒子数)。
   • $N_{ex} = \int_0^\infty f_{BE}(E) g(E) dE$。
   • 当温度从高处降至 $T_C$ 时，化学势 $\mu$ 恰好趋近于0。此时激发态所能容纳的粒子数达到最大值，这个值就等于系统的总粒子数 $N$。
   • 令 $\mu=0$，带入 $g(E) \propto \sqrt{E}$ 求解积分方程: $$ N = \int_0^\infty \frac{1}{e^{E/k_B T_C}-1} V \frac{g_s}{4\pi^2} (\frac{2m}{\hbar^2})^{3/2} \sqrt{E} dE $$ 这个定积分的结果可以解出 $T_C$。

3. 临界温度 $T_C$ 公式:

   $$ T_C = (\frac{n}{g_s \zeta(3/2)})^{2/3} \frac{2\pi\hbar^2}{m k_B} $$

   其中 $n=N/V$ 是粒子数密度，$\zeta(3/2) \approx 2.612$ 是黎曼Zeta函数。关键: $T_C \propto n^{2/3}$。

4. 凝聚相性质 ($T<T_C$):

   • 凝聚体分数 (基态粒子占比): $$ \frac{N_0}{N} = 1 - (\frac{T}{T_C})^{3/2} $$
   • 热力学性质 (此时 $\mu \approx 0$):
     • 压强: $P = g_s \zeta(5/2) k_B (\frac{m k_B}{2\pi\hbar^2})^{3/2} T^{5/2} \propto T^{5/2}$。压强与体积 V 无关！
     • 内能: $U \propto V T^{5/2}$。
     • 热容: $C_V = (\frac{\partial U}{\partial T})_V \propto V T^{3/2}$。

2. 光子气体 (黑体辐射)

是理想玻色气体的一个重要特例。

• 核心特征: 光子可以被器壁产生和吸收，因此粒子数不守恒。
• 数学后果: 体系的自由能对粒子数N求导恒为零，这意味着化学势恒为零 $\mu \equiv 0$。

普朗克公式

物理图像

空腔中的电磁场可以看作无数个独立的谐振子，每个谐振子被量子化后就是能量为 $h\nu$ 的光子。空腔壁与这些光子处于热平衡。普朗克公式描述的是，在温度T下，这个“光子海洋”中，不同频率（颜色）的光子所携带的能量是如何分布的。

推导思路

1. 目标: 计算频率在 $\nu$ 到 $\nu+d\nu$ 之间的辐射能量密度 $u(\nu)d\nu$。
2. $u(\nu)d\nu = (\text{该频率范围内的态数}) \times (\text{每个态的平均能量})$。
3. 态数: 利用光子的态密度公式 $g(E)$，并转换成频率的函数。$E=h\nu \implies g(\nu)d\nu = g(E)dE$。 $$ g(\nu)d\nu = V \frac{8\pi \nu^2}{c^3} d\nu $$ 单位体积内的态数即为 $g_V(\nu)d\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} d\nu$。
4. 每个态的平均能量: (单个光子能量 $h\nu$) $\times$ (该态的光子占据数 $f_{BE}(h\nu)$)。 由于 $\mu=0$，占据数为 $\frac{1}{e^{h\nu/k_B T}-1}$。
5. 组合: $u(\nu)d\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} \cdot (h\nu) \cdot \frac{1}{e^{h\nu/k_B T}-1} d\nu$

重要结论

• 普朗克公式: $$ u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1} $$
• 斯特藩-玻尔兹曼定律: 对普朗克公式积分得到总能量密度。 $u = \frac{U}{V} = \frac{8\pi^5 k_B^4}{15c^3h^3} T^4 = \sigma T^4$。 总能量与 $T^4$ 成正比。
• 维恩位移定律: 对普朗克公式求极大值点。 $\lambda_{max} T = b = \text{常数}$。

3. 自由电子气 (理想费米气体)

3.1 基本性质与分布

• 粒子: 遵循费米-狄拉克统计的半整数自旋粒子 (费米子)，核心是泡利不相容原理。
• 分布函数: $$ f_{FD}(E) = \frac{1}{e^{(E-\mu)/k_B T} + 1} $$ 分母中的 +1 导致任何一个态的占据数都不可能大于1，这正是泡利原理的体现。在T=0K时，它是完美的阶跃函数。
• 化学势 $\mu$: T=0K时，$\mu(0) = E_F > 0$。

3.2 费米能 $E_F$

物理图像

由于泡利不相容原理，电子不能都挤在最低能量态。在T=0K，它们会像往水杯里倒水一样，从能量最低的“杯底”开始，一个一个地填充所有可用的能级，直到所有电子都“安家落户”。费米能就是这个电子“海洋”的最高“海平面”的能量。它是一个由电子密度决定的内在能量标度，即使在绝对零度也存在，代表了电子因“量子简并”而被迫拥有的巨大动能。

推导思路

1. 核心思想: 在 T=0K，所有能量 $E \le E_F$ 的态都被填满，而所有 $E > E_F$ 的态都是空的。
2. 建立方程: 系统总电子数 $N$ 必须等于 $E_F$ 以下的总量子态数。 $$ N = \int_0^{E_F} g(E) dE $$
3. 代入DOS: 对电子，$g_s=2$ (自旋向上和向下)。使用有质量粒子的DOS公式: $$ N = \int_0^{E_F} V \frac{2}{4\pi^2} (\frac{2m_e}{\hbar^2})^{3/2} \sqrt{E} dE $$
4. 求解积分: 积分 $\sqrt{E}$ 得到 $\frac{2}{3}E^{3/2}$。 $$ N = V \frac{1}{3\pi^2} (\frac{2m_e}{\hbar^2})^{3/2} E_F^{3/2} $$
5. 反解 $E_F$: 整理上式，用电子数密度 $n=N/V$ 来表示。 $$ E_F = \frac{\hbar^2}{2m_e}(3\pi^2 n)^{2/3} $$

重要结论

• 费米能: $$ E_F = \frac{\hbar^2}{2m_e}(3\pi^2 n)^{2/3} $$ 只依赖于电子密度 $n$。
• 基态总能量 ($T=0$ K): $U_0 = \int_0^{E_F} E g(E) dE = \frac{3}{5} N E_F$
• 简并压 ($T=0$ K): $P_0 = -\frac{\partial U_0}{\partial V} = \frac{2}{3}\frac{U_0}{V} = \frac{2}{5}nE_F$。这是一个纯粹的量子压力，即使在零温下也存在，支撑着白矮星等天体。
• 低温电子热容 ($T \ll T_F=E_F/k_B$): $$ C_V = \frac{\pi^2}{2} N k_B \frac{T}{T_F} \propto T $$ 热容与温度成线性关系，因为只有在费米面附近 $k_B T$ 能量范围内的电子才能被热激发。