好的！以下是行波法、达朗贝尔公式、基尔霍夫公式的重新总结，其中基尔霍夫公式采用单位球面上的积分形式（这是理论分析和推导中更标准、更清晰的写法）。

一、行波法（1D）

• 方程：
  $$ u_{tt} = c^2 u_{xx},\quad x\in\mathbb{R},\ t>0 $$
• 思想：引入特征变量 $\xi = x - ct$，$\eta = x + ct$，得通解
  $$ u(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct) $$
• 物理意义：解由左行波和右行波叠加而成，波形以速度 $c$ 无畸变传播。

二、达朗贝尔公式（1D 柯西问题）

• 初值问题：
  $$ \begin{cases} u_{tt} = c^2 u_{xx} \\ u(x,0) = \varphi(x),\quad u_t(x,0) = \psi(x) \end{cases} $$
• 解：
  $$ u(x,t) = \frac{1}{2}\big[\varphi(x-ct) + \varphi(x+ct)\big] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} \psi(s)\,ds $$
• 依赖区域：区间 $[x-ct,, x+ct]$
• 惠更斯原理：✅ 成立（扰动经过即消失）

三、基尔霍夫公式（3D 柯西问题，单位球形式）

• 方程：
  $$ u_{tt} = c^2 \Delta u,\quad (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\ t>0 $$
• 初值：
  $$ u(P,0) = \varphi(P),\quad u_t(P,0) = \psi(P) $$

✅ 基尔霍夫公式（单位球面 $\mathbb{S}^2$ 积分形式）：

令 $P = (x,y,z)$，$\omega \in \mathbb{S}^2$ 为单位球面上的单位向量（$|\omega| = 1$），则解为：

$$ u(P, t) = \frac{1}{4\pi} \frac{\partial}{\partial t} \left( t \int_{\mathbb{S}^2} \varphi(P + ct,\omega), d\omega \right)

• \frac{t}{4\pi} \int_{\mathbb{S}^2} \psi(P + ct,\omega), d\omega $$

其中：

• $\mathbb{S}^2 = { \omega \in \mathbb{R}^3 : |\omega| = 1 }$ 是单位球面；
• $d\omega$ 是单位球面上的面积微元（即立体角元素，$\int_{\mathbb{S}^2} d\omega = 4\pi$）；
• $P + ct,\omega$ 表示以 $P$ 为中心、半径为 $ct$ 的球面上的点。

🔔 说明：此形式通过变量代换 $Q = P + ct,\omega$ 从原始球面积分导出，消除了半径依赖，更便于理论分析（如估计解的衰减、奇性传播等）。

📌 特点：

• 解只依赖于球面 $|Q - P| = ct$ 上的初始数据；
• 严格满足惠更斯原理：在 $t > 0$ 时，若初始扰动紧支于某区域，则波前之外和波前之后的区域解均为零；
• 是三维自由空间波动传播的显式基本解表示。

四、对比小结（强调维数与积分域）

💡 注：2D 的泊松公式需对单位圆盘（或单位圆内部）积分，不满足惠更斯原理。

这种单位球形式的基尔霍夫公式在数学物理、偏微分方程理论、散射理论中更为常见，也更容易推广到非齐次项或高维情形。如果你需要从该形式推导出原始球面积分形式，或用它分析解的性质（如能量守恒、衰减率），也可以继续深入！