我按你这份框架里强调的主线来“出题覆盖”：分离变量法→施图姆-刘维尔→级数解；非齐次方程拆分+固有函数法；非齐次边界用辅助函数化齐次；二维拉普拉斯/泊松按区域选坐标与拆分思路；格林函数与其性质；贝塞尔与傅里叶-贝塞尔级数。
下面只提问、不提供答案。你可以用法：每题先说“用什么方法/为什么”，再写关键一步公式（例如分离常数、展开系数、边界条件如何给特征值），最后检查“边界/初值是否满足、物理/极限是否合理”。
1 方法选择与总框架（先把“选路”练到秒出）
- 给定一维波动/热方程定解问题，你如何用“方程是否齐次、边界是否齐次、初值是否齐次”来秒判：分离变量 / 固有函数 / 辅助函数？
- “有界区域”与“无界区域”在方法选择上最大的分水岭是什么？（你会优先想到哪两类工具？）
- 同一个问题，你能给出至少两条可行求解路线吗？各自的优缺点是什么（可计算性、表达式复杂度、适用性）？
- 你如何判断一个边值问题“只有在区域很规则时才能分离变量”？你对“规则”的可操作判据是什么？
- 做完任何 PDE 题，你会用哪 3 个“自检项”来避免低级错（比如系数、正交性、端点条件、零均值等）？
2 分离变量法（从“会做”到“知道为什么这样做”）
2.1 基本结构与分离常数
- 你把 (u(x,t)=X(x)T(t)) 代回 PDE 后，为什么能得到“一个只含 x，一个只含 t”的常微分方程？你用到的逻辑是什么？
- 分离常数取 (\lambda) 还是 (-\lambda) 的选择，背后是为了什么（与边界条件/特征值符号的关系）？
- 对波动方程与热方程，分离后时间方程的通解结构分别是什么？在什么情况下会出现指数衰减/简谐振动/双曲函数？
- 哪一步开始“必须使用齐次边界条件”？如果边界不是齐次，会在这里卡住在哪里？
2.2 施图姆–刘维尔问题（你必须能口述出来）
- 你能把“利用齐次边界条件求施图姆–刘维尔问题”这句话展开成：未知量是什么？求什么？输出是什么？
- 为什么要求“非零解”？如果允许零解会发生什么？
- 特征值为什么通常是离散的？（你能从边界条件“钉住”解的角度解释吗？）
- 你如何证明不同特征值对应的特征函数正交？证明里最关键的“减法+积分+分部”一步是什么？
- 什么时候会得到正弦系，什么时候是余弦系，什么时候是 (\sin((2n-1)\cdot)) 这种“半波”结构？
- 若边界是 (X(0)=0, X(l)=0)，你能写出特征值 (\lambda_n) 的形式与特征函数族吗？
- 若边界是 (X’(0)=0, X’(l)=0)，与上题相比哪里变了？为什么会出现 (n=0) 项？
- 混合边界（如 (X(0)=0, X’(l)=0)）的特征值为何会变成“半整数”结构？你能推导出量化条件吗？
2.3 级数解与系数（把“套公式”变成“能解释每个符号”）
- 为什么最终解写成 (\sum_n X_n(x)T_n(t)) 的线性叠加是合理的？你用到 PDE 的哪个性质？
- 初位移 (\varphi(x))、初速度 (\psi(x)) 分别决定了系数的哪一部分？为什么一个对应“余弦项系数”，另一个对应“正弦项系数”？
- 在波动方程中，如果 (\psi(x)=0) 会消掉哪些时间项？你能从物理解释吗？
- 热方程中为什么不存在“振荡项”，而是“指数衰减模态”？对应的能量/最大值原理直觉是什么？
- 你如何判断傅里叶级数该用正弦、余弦还是混合？只看边界条件够吗？初值的延拓（奇/偶）在你脑子里是什么图像？
3 固有函数法（处理非齐次项：你要能把“比较系数”做熟）
3.1 结构性提问（按你框架的步骤来）
- 你能完整复述固有函数法 4 步吗？每一步的“输入/输出”是什么？
- 为什么要把解按固有函数展开？这相当于在做什么“坐标变换/投影”？
- “自由项也按固有函数系展开”的必要性是什么？如果不展开会卡在哪？
- 代入 PDE 后“比较待定系数”得到的常微分方程，一般是什么类型（对波动/热分别是什么）？
- 初值条件如何变成每个模态 (u_n(t)) 的附加条件？这一步最容易错在哪里？
- 为什么在泊松方程场景下，你的框架特别提醒“需借助有界性和边界条件”？这句话具体防的是什么坑？
3.2 非齐次方程拆分
- 当边界齐次、方程/初值非齐次时，为什么要把原问题拆成“齐次方程+原初值”和“非齐次方程+齐次初值”两部分？
- 这两部分分别适合用什么方法？为什么不是反过来？
- 这种拆分的“线性叠加”成立的前提条件是什么？（线性/齐次/边界匹配等）
4 非齐次边界与辅助函数（你要把“构造 w(x,t)”变成条件反射）
- 为什么边界非齐次时“必须引进辅助函数把边界化齐次”？如果不化齐次，分离变量会在哪一步失败？
- 你如何系统构造 (w(x,t)) 使得 (u=v+w) 后，(v) 满足齐次边界？（把“满足边界条件”当作线性代数方程去解）
- 对 Dirichlet-Dirichlet：(u(0,t)=u_1(t), u(l,t)=u_2(t))，你能构造一个最简单的 (w) 吗？它为什么通常取“关于 x 的线性函数”？
- 混合边界（Dirichlet-Neumann、Neumann-Dirichlet、Neumann-Neumann）分别怎么构造 (w)？你能说出每种构造的思路而不背公式吗？
- 引入 (w) 之后，新的 PDE 对 (v) 的右端项如何变化？你如何避免漏掉 (w_t,w_{tt},w_{xx}) 这些项？
- (w) 的选取不唯一：你能举例说明“选得不同会导致计算复杂度不同”，但最终 (u) 不变的原因是什么？
5 二维拉普拉斯/泊松：坐标、分离与拆分
5.1 二维拉普拉斯边值问题
- 面对一个二维区域，你如何决定用直角坐标还是极坐标？你的判断标准是什么？
- 为什么“在该坐标系中边界条件表达最简单”是第一优先级？你能举一个边界在直角坐标很复杂、换极坐标就简单的例子吗？
- 在矩形域上做分离变量，为什么通常得到 (X’’+\lambda X=0, Y’’-\lambda Y=0) 这类“一个振荡一个指数”的组合？
- 你如何利用边界条件决定是用 (\sin) 还是 (\cos) 的 x-方向基？
- 对“带形区域/半无限带形”，分离后哪一个方向会出现连续谱？你会怎么处理（积分表示/变换）？
5.2 二维泊松方程（你的框架给了两种思路）
- 思路1：为什么要先找一个特解 (w)，再令 (u=v+w) 把泊松化成拉普拉斯？这相当于在做什么“降阶/消源”？
- 你通常怎么找特解 (w)？（试探法：多项式/对称性/只依赖 r 等）
- 思路2：把解看成两部分 (u=v+w)，并让 (v,w) 分别满足不同方程与边界：你能解释这样分配的自由度在哪里吗？
- 当 (F(r,\theta)) 具有某种正交展开形式时，你会倾向用“固有函数法”还是“先找特解”？为什么？
6 无界区域的波动：达朗贝尔与泊松公式（把“影响域/特征线”讲清）
- 无限长弦自由振动：你能从 (u_{tt}=a^2u_{xx}) 推出通解 (u=f(x-at)+g(x+at)) 的逻辑主线吗？
- 给定初值 (\varphi,\psi)，你如何确定 (f,g)？你最怕漏掉哪个积分常数/系数？
- 你能解释达朗贝尔公式体现的“有限传播速度”和“影响域”吗？（点 ((x,t)) 只依赖区间 ([x-at,x+at])）
- 无限长弦强迫振动：外力项 (f(x,t)) 会如何进入积分表达式？你能解释“时空卷积/锥域积分”的几何意义吗？
- 二维/三维波动初值问题的泊松公式：积分是在“圆/球面”上还是“圆盘/球体”上？对应的几何对象是什么？（若你想严格对应推导，可用你课本/讲义再核对）
7 积分变换：傅里叶/拉普拉斯（你要能把每条性质当工具用）
7.1 定义与适用条件
- 什么时候优先用傅里叶变换，什么时候优先用拉普拉斯变换？（自变量是 x 还是 t、定义域是 (\mathbb R) 还是 (t\ge0)）
- “在无穷远处为 0/可积/可变换”的技术条件你通常怎么检查？如果不满足你会怎么补救（广义函数/分段/引入衰减因子）？
7.2 性质（请你每条都能举一个“用它解 PDE 的场景”）
- 线性性质：你在拆分问题时如何用它？
- 微分定理：为什么傅里叶变换把导数变成乘 (i\lambda)，这对解常系数 PDE 有什么致命好处？
- 拉普拉斯的微分定理里为什么会出现初值项 (f(0),f’(0))？这对初值问题意味着什么？
- 卷积定理：你能把“乘积↔卷积”在物理上解释成“系统响应/格林函数”吗？
- 频移/位移定理与延迟定理：它们分别对应“自变量平移”和“乘指数”哪个？你能写出从一个已知变换快速得到另一个的操作步骤吗？
- 你如何用拉普拉斯变换处理含 (\delta(t)) 的激励？（别算，只讲流程和关键点）
- 你见到 (e^{-at}\sin bt) 这类函数时，如何不查表快速写出拉普拉斯变换的结构？
7.3 变换法解 PDE 的套路题（只说你会怎么做）
- 半无限域热方程（(x>0,t>0)）给定边界/初值：你会对哪个变量做哪个变换？为什么？
- 全空间波动/热方程给定初值：你会对 x 做傅里叶、对 t 解 ODE；还是反过来？选择依据是什么？
- 遇到“卷积型解表达式”，你如何从变换域解释它来自哪里（格林函数/基本解）？
8 格林公式、基本解与格林函数（你要把“唯一性→表示公式→具体域构造”串起来）
8.1 基本解与格林第二公式
- 二维/三维拉普拉斯方程基本解分别是什么形式？它们的奇性（(\ln r) vs (1/r)）为何不同？
- 你能口述格林第二公式（空间/平面）里每一项的含义吗？哪些项来自分部积分？
- 从格林第二公式到“调和函数积分表示式”，中间关键一步是什么（选 (v) 为基本解/格林函数）？
8.2 调和函数性质与唯一性
- 你能用极值原理解释“调和函数的最大最小只能在边界取到”吗？
- 平均值定理的几何意义是什么？它如何帮助你做“合理性检查”？
- 比较原理如何推出解的唯一性？你能把逻辑链写成 3 句“如果…那么…”吗？
8.3 格林函数的性质与构造
- 格林函数需要满足哪两类条件（域内方程 + 边界条件）？
- “除去源点外满足拉普拉斯方程、在源点发散”的意义是什么？它与 (\delta) 源如何对应？
- 对称性 (G(M_1,M_2)=G(M_2,M_1)) 一般怎么证明？你需要什么前提（边界条件类型、算子自伴）？
- 性质5（法向导数积分给常数）在你框架里是怎么用“唯一性+取 (u\equiv1)”证明的？请你复述证明结构。
- 上半空间的格林函数为什么可以用“镜像法”构造？镜像点放哪？为什么边界上会抵消到 0？
- 圆域/球域格林函数中为什么会出现 (R^2/r) 这种“反演”结构？它在几何上意味着什么？
- 你能从格林函数写出狄利克雷问题的解表示，并解释每个符号（积分域、法向、核）代表什么吗？
- 泊松公式（圆/球）与格林函数表示式之间是什么关系？你能说出“核函数”是如何由 (\partial G/\partial n) 得到的吗？
9 贝塞尔方程与傅里叶-贝塞尔级数（极坐标分离的核心）
- 你在极坐标分离变量时，径向方程为什么会变成贝塞尔方程？其中 (n) 从哪里来（角向量化）？
- 第一类贝塞尔 (J_n) 与第二类 (Y_n) 的差别是什么？为什么在“有界区域/原点可积”时通常舍去 (Y_n)？（说出你依赖的判据）
- 你能写出贝塞尔方程通解结构，并说明常数由什么边界条件决定吗？
- 递推公式是怎么来的（从微分方程推、还是从生成函数/分部积分推）？你至少能推导其中一条吗？
- “零点 (\mu_m^{(n)})”在傅里叶-贝塞尔级数里扮演什么角色？它对应“特征值”还是“本征频率”？
- 傅里叶-贝塞尔展开的正交性权重为什么是 (r)（积分里出现 (r,dr)）？它来自哪里（面积元）？
- 给定边界 (u(R,\theta)=0)，为什么径向部分必须取 (J_n(\mu r/R)) 且 (\mu) 为 (J_n) 的零点？
- 你能说出傅里叶-贝塞尔系数公式的结构：分子像“投影”，分母像“范数”，并指出每一项来自哪里吗？
- 把贝塞尔工具用于 PDE：圆域上的拉普拉斯/热/波方程，你会如何组合“角向傅里叶 + 径向贝塞尔 + 时间模态”三段式？
10 综合题（把方法“串联”）
- 一维热方程：方程含源项 (f(x,t))，边界又是非齐次。请你给出从原问题到可解问题的完整流程（拆分/辅助函数/固有函数/求系数），并指出每一步产生的新方程是什么类型。
- 二维泊松方程在圆域：边界给定 (u(R,\theta)=f(\theta))，域内源项 (F(r,\theta)) 已经可写成傅里叶级数。你会选“先找特解再化拉普拉斯”还是“直接固有函数法”？给出你选择的理由与步骤。
- 上半平面/上半空间狄利克雷问题：你能分别用“镜像法构造格林函数”与“泊松核积分”两条路描述求解吗？两条路的相同点与不同点是什么？
- 一个题里同时出现：非齐次边界 + 非齐次方程 + 初值。你如何安排顺序：先化齐次边界还是先拆分非齐次源项？给出你的一般策略（以及反例：什么情况下要反过来）。
如果你愿意，我可以把这份题单按“期末高频题型”再压缩成 30 题必会版，或者按你老师的四段法（motivation/方法/验证/思考）把每个方法都改成“自问自答式 checklist”。