数理方程达朗贝尔公式

这是一份关于数理方程课程中一维波动方程（弦振动方程）的行波法与达朗贝尔公式的复习总结。

这份总结按照“定解问题 $\to$ 通解（行波法）$\to$ 特解（达朗贝尔公式）$\to$ 物理意义”的逻辑整理，适合期末复习或梳理思路。

一、定解问题模型 (The Cauchy Problem)

我们研究的是无界弦（无限长）的自由振动问题，数学上称为柯西问题（初值问题）：

$$ \begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} & (-\infty < x < \infty, t > 0) \quad \text{(泛定方程)} \\ u(x, 0) = \phi(x) & (-\infty < x < \infty) \quad \text{(初始位移)} \\ \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \psi(x) & (-\infty < x < \infty) \quad \text{(初始速度)} \end{cases} $$

$u(x,t)$: 代表位移。
$a$: 波速，物理上 $a = \sqrt{T/\rho}$（$T$为张力，$\rho$为线密度）。

二、行波法 (Method of Traveling Waves)

行波法的核心思想是通过特征变换，将二阶偏微分方程化简，从而求出通解。

1. 特征线与变量代换

方程 $u_{tt} - a^2 u_{xx} = 0$ 可以因式分解为算子形式：

$$(\frac{\partial}{\partial t} - a\frac{\partial}{\partial x})(\frac{\partial}{\partial t} + a\frac{\partial}{\partial x})u = 0$$

这提示我们要寻找使得 $x \pm at$ 为常数的线，即特征线。

引入新变量（特征坐标）：

$$ \begin{cases} \xi = x + at \\ \eta = x - at \end{cases} $$

2. 化简方程

利用链式法则将关于 $x, t$ 的导数转换为关于 $\xi, \eta$ 的导数，原方程化为标准型：

$$ \frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0 $$

3. 积分求通解

对 $\xi$ 和 $\eta$ 分别积分，得到达朗贝尔通解：

$$ u(x, t) = f(x + at) + g(x - at) $$

其中 $f$ 和 $g$ 是任意二阶可微函数。

4. 物理含义：行波

$g(x - at)$：代表波形保持不变，向 $x$ 轴正方向（右） 传播的波（右行波）。
$f(x + at)$：代表波形保持不变，向 $x$ 轴负方向（左） 传播的波（左行波）。
结论：一维波动方程的解是由两列形状不变、方向相反的行波叠加而成的。

三、达朗贝尔公式 (D’Alembert’s Formula)

行波法给出了通解结构，达朗贝尔公式则是利用初始条件确定具体函数 $f$ 和 $g$，从而得到定解。

1. 推导过程

利用初始条件 $t=0$ 时：

位移：$f(x) + g(x) = \phi(x)$
速度：$a f’(x) - a g’(x) = \psi(x)$

对速度式在 $[0, x]$ 上积分，联立解出 $f(x)$ 和 $g(x)$，最后代回通解表达式。

2. 公式形式 (核心考点)

$$ u(x, t) = \frac{1}{2}[\phi(x - at) + \phi(x + at)] + \frac{1}{2a} \int_{x - at}^{x + at} \psi(\tau) d\tau $$

3. 公式的物理分解

解由两部分组成：

第一部分 $\frac{1}{2}[\phi(x - at) + \phi(x + at)]$：
- 由初始位移 $\phi(x)$ 引起。
- 初始波形一分为二，高度减半，分别向左右传播。
第二部分 $\frac{1}{2a} \int_{x - at}^{x + at} \psi(\tau) d\tau$：
- 由初始速度 $\psi(x)$ 引起。
- 代表初始冲量对波动的影响，是一个积分累积效应。

四、物理意义与特征几何 (重点理解)

理解达朗贝尔公式不仅要会背，还要理解其背后的时空几何意义。

1. 依赖区域 (Domain of Dependence)

问题：$M(x_0, t_0)$ 点的解 $u(x_0, t_0)$ 由哪些初始数据决定？
结论：由 $x$ 轴上区间 $[x_0 - at_0, x_0 + at_0]$ 内的初始数据决定。
几何：过 $M$ 点作两条特征线，与 $x$ 轴围成的三角形称为特征三角形。解完全取决于该三角形底边上的初始值。
物理意义：波速是有限的，远处的扰动还没传过来，不会影响当前点。

2. 决定区域 / 影响区域 (Domain of Influence)

问题：$x$ 轴上一点 $P(x_0, 0)$ 的初始扰动会影响时空中的哪些区域？
结论：会影响由两条特征线 $x - at = x_0$ 和 $x + at = x_0$ 夹角内的扇形区域。
物理意义：扰动以速度 $a$ 向两侧传播，凡是波前扫过的区域都会受到影响。

五、扩展应用 (考试常见变体)

虽然达朗贝尔公式针对的是无界弦，但常用于解决以下变体问题：

半无界弦 ($x > 0$) 问题：
- 方法：延拓法 (Method of Reflection)。
- 固定端 ($u|_{x=0} = 0$)：对 $\phi(x)$ 和 $\psi(x)$ 进行奇延拓到 $(-\infty, \infty)$，然后套用达朗贝尔公式。
- 自由端 ($u_x|_{x=0} = 0$)：对 $\phi(x)$ 和 $\psi(x)$ 进行偶延拓。
非齐次方程 ($u_{tt} = a^2 u_{xx} + f(x,t)$)：
- 方法：齐次化原理 (Duhamel’s Principle / 杜哈梅原理)。
- 将非齐次项 $f(x,t)$ 看作在不同时刻加入的“外力”或“初速度”，利用积分叠加达朗贝尔公式求解。
- 解的形式： $$u(x,t) = \text{齐次通解} + \frac{1}{2a}\int_0^t \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)} f(\xi, \tau) d\xi d\tau$$

六、总结记忆表

概念	核心内容
方程	$u_{tt} = a^2 u_{xx}$
行波变量	$\xi = x+at, \quad \eta = x-at$
通解	$u = f(x+at) + g(x-at)$
达朗贝尔公式	$u = \frac{1}{2}[\phi(x-at) + \phi(x+at)] + \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\tau)d\tau$
核心性质	叠加性、有限传播速度、依赖区域、影响区域
适用范围	一维、无界、波动方程