数理方程格林函数证明题

既然考向转到了纯证明，那我们就换个打法。不要晕，数理方程的证明题其实比计算题更死板，因为起手式（First Step）通常只有两三种。

只要你能判断出题目属于哪一类，直接套用对应的“公式模板”就能拿下一半的分数。

为了帮你治好“晕晕的”感觉，我把这些考点重新归纳为三大核心证明体系。你只要记住：看见什么词，就用什么工具。

这是考频最高的证明题。只要题目让你证“解是唯一的”，或者涉及“能量积分”，绝对是这个路子。

核心工具：格林第一公式

$$ \int_V (\nabla u)^2 dV + \int_V u \nabla^2 u dV = \oint_S u \frac{\partial u}{\partial n} dS $$

（物理意义：总能量 = 内部势能 + 边界做功）

题目：已知 $\nabla^2 u = f$，且 $u|_S = \phi$，证明解 $u$ 唯一。

【套路式证明】：

构造差函数：假设有两个解 $u_1, u_2$。令 $w = u_1 - u_2$。
找 $w$ 的方程：
- $\nabla^2 w = \nabla^2 u_1 - \nabla^2 u_2 = f - f = 0$ （内部调和）。
- $w|_S = u_1|_S - u_2|_S = \phi - \phi = 0$ （边界为0）。
套公式（起手式）：对 $w$ 使用格林第一公式： $$ \int_V (\nabla w)^2 dV + \int_V w \underbrace{\nabla^2 w}_{0} dV = \oint_S \underbrace{w}_{0} \frac{\partial w}{\partial n} dS $$
推导：中间项含 $\nabla^2 w = 0$，右边项含 $w|_S = 0$。于是剩下：$\int_V (\nabla w)^2 dV = 0$。
结论：因为 $(\nabla w)^2 \ge 0$，积分要为0，被积函数必须恒为0。 $\implies \nabla w = 0 \implies w = C$（常数）。又因为边界上 $w=0$，所以 $C=0$。 $\implies u_1 \equiv u_2$，唯一性得证。

只要题目让你证 $G(x, \xi) = G(\xi, x)$，或者让你推导解的积分公式，那就是这一套。

核心工具：格林第二公式

$$ \int_V (u \nabla^2 v - v \nabla^2 u) dV = \oint_S (u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n}) dS $$

题目：证明 $G(M_1, M_2) = G(M_2, M_1)$。

【套路式证明】：

设函数：令 $u = G(M, M_1)$， $v = G(M, M_2)$。
列方程：
- $\nabla^2 u = \delta(M - M_1)$
- $\nabla^2 v = \delta(M - M_2)$
- 边界上 $u|_S = 0, v|_S = 0$。
套公式（起手式）：把 $u, v$ 代入格林第二公式。
消边界：因为边界上 $u=0, v=0$，所以公式右边的面积分 $\oint (…) dS = 0$。
筛选性质：左边体积分变为： $$ \int_V [G(M, M_1)\delta(M - M_2) - G(M, M_2)\delta(M - M_1)] dV_M = 0 $$ 利用 $\delta$ 函数的“筛选性质”（积哪里就在哪里取值）： $$ G(M_2, M_1) - G(M_1, M_2) = 0 $$ $$ \implies G(M_2, M_1) = G(M_1, M_2) $$，得证。

这类证明题比较抽象，通常不涉及积分公式的运算，而是逻辑推理。

核心逻辑链： 平均值公式 $\to$ 极大值原理 $\to$ 比较原理 $\to$ 唯一性

题目：证明调和函数球心值等于球面平均值。 证明思路：对 $\nabla^2 u = 0$ 在小球内用格林第二公式，取辅助函数 $v = 1/r$。这其实就是求解公式的特例，推导过程即“挖洞法”。

题目：证明调和函数 $u$ 若不为常数，最大值必在边界取到。 【套路式证明（反证法）】：

假设内部某点 $M_0$ 是最大值点。
用平均值公式：$u(M_0)$ 等于它周围一个小球面上所有值的平均。
找矛盾：既然 $M_0$ 是最大值，球面上所有点都不能比它大。如果球面上有点比它小，平均值就会小于 $u(M_0)$，矛盾。所以球面上所有点必须等于 $u(M_0)$。
扩散：一圈圈推出去，整个区域都得等于 $u(M_0)$，即 $u$ 是常数。
结论：如果 $u$ 不是常数，最大值不能在内部。

题目：若在区域内 $\nabla^2 u = \nabla^2 v$，且边界上 $u|_S \ge v|_S$，证明在区域内部 $u \ge v$。

【套路式证明】：

拿到一道证明题，先看关键词，决定用哪把“刀”：

关键词：$\int (\nabla u)^2$、能量、唯一性
- $\to$ 格林第一公式（令 $w=u_1-u_2$，利用 $(\nabla w)^2 \ge 0$）。
关键词：对称性、互换、积分表达式
- $\to$ 格林第二公式（令 $u=G_1, v=G_2$，利用边界为0消项）。
关键词：大小关系、不等式 ($u \ge v$)、有界性
- $\to$ 极大值/比较原理（构造差函数，看边界最值）。
关键词：球心值、平均
- $\to$ 平均值公式。

如果不确定用哪个？ 优先默写格林第二公式。在数理方程这一章，它是万法之源。只要写出公式，说明其中一项（如 $\nabla^2 u$ 或边界积分）为 0，老师通常都会给步骤分。