这是一份非常系统的总结需求。掌握这四种情况，基本上就覆盖了本科数理方程考试中分离变量法 90% 的考点。

核心逻辑是：

1. 边界条件决定了**固有函数（基底）**的形式（是 $\sin$ 还是 $\cos$）。
2. 方程类型决定了时间/另一维度函数的形式（是振荡、衰减还是双曲）。

第一部分：一维演化方程（弦振动 vs 热传导）

这两种方程的空间部分（$x$）处理方式完全一样，区别仅在于时间部分（$t$）。

• 弦振动 (Wave): $u_{tt} = a^2 u_{xx}$ $\rightarrow$ 时间是振荡的 ($\sin \omega t, \cos \omega t$)，甚至有线性增长 ($t$)。
• 热传导 (Heat): $u_t = a^2 u_{xx}$ $\rightarrow$ 时间是衰减的 ($e^{-k^2 t}$)，或者是常数。

1. 两端固定 (Dirichlet-Dirichlet)

• BC: $u(0)=0, u(l)=0$
• 基底: $\sin \frac{n\pi x}{l}$
• 弦振动解: $$ u = \sum_{n=1}^\infty \left( C_n \cos \frac{n\pi a t}{l} + D_n \sin \frac{n\pi a t}{l} \right) \sin \frac{n\pi x}{l} $$
• 热传导解: $$ u = \sum_{n=1}^\infty C_n e^{-\left(\frac{n\pi a}{l}\right)^2 t} \sin \frac{n\pi x}{l} $$

2. 两端自由 (Neumann-Neumann) —— 高频考点

• BC: $u_x(0)=0, u_x(l)=0$
• 基底: $1$ (对应 $n=0$) 和 $\cos \frac{n\pi x}{l}$
• 弦振动解 (含刚体位移): $$ u = \underbrace{C_0 + D_0 t}_{\color{red}{n=0 \text{项}}} + \sum_{n=1}^\infty \left( C_n \cos \dots + D_n \sin \dots \right) \cos \frac{n\pi x}{l} $$
• 热传导解 (含稳态解): $$ u = \underbrace{C_0}_{\color{red}{\text{最终平衡温度}}} + \sum_{n=1}^\infty C_n e^{-\left(\frac{n\pi a}{l}\right)^2 t} \cos \frac{n\pi x}{l} $$

3. 一固一游 (Mixed)

• BC: $u(0)=0, u_x(l)=0$
• 基底: $\sin \frac{(2n+1)\pi x}{2l}$ (半奇数倍)
• 弦振动解: $$ u = \sum_{n=0}^\infty (T_n(t)) \sin \frac{(2n+1)\pi x}{2l} $$
• 热传导解: $$ u = \sum_{n=0}^\infty C_n e^{-\left(\frac{(2n+1)\pi a}{2l}\right)^2 t} \sin \frac{(2n+1)\pi x}{2l} $$

第二部分：二维拉普拉斯方程（直角坐标）

方程：$u_{xx} + u_{yy} = 0$

解题铁律：

1. 看边界：哪两个平行的边界条件是 0（齐次）？
2. 齐次方向选三角函数 ($\sin, \cos$) $\rightarrow$ 产生固有值 $\lambda_n$。
3. 非齐次方向选双曲函数 ($\sinh, \cosh$) 或指数函数 ($e^y, e^{-y}$) $\rightarrow$ 为了凑边界。

情形 A：左右为 0 ($x=0, x=a$ 是齐次)

• $X(x)$ 方向：$\sin \frac{n\pi x}{a}$
• $Y(y)$ 方向：$A_n \cosh \frac{n\pi y}{a} + B_n \sinh \frac{n\pi y}{a}$ (或者 $C_n e^{\dots} + D_n e^{-\dots}$)
• 解的形式： $$ u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty \left( A_n \cosh \frac{n\pi y}{a} + B_n \sinh \frac{n\pi y}{a} \right) \sin \frac{n\pi x}{a} $$ (系数 $A_n, B_n$ 由上下两边的非齐次条件定)

情形 B：上下为 0 ($y=0, y=b$ 是齐次)

• $Y(y)$ 方向：$\sin \frac{n\pi y}{b}$
• $X(x)$ 方向：双曲函数
• 解的形式： $$ u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty \left( A_n \cosh \frac{n\pi x}{b} + B_n \sinh \frac{n\pi x}{b} \right) \sin \frac{n\pi y}{b} $$

情形 C：四周都有值 (叠加原理)

• 如果矩形四边都不是 0，必须把问题拆成两个子问题（A + B），分别求解后再相加。

第三部分：二维拉普拉斯方程（极坐标）

方程：$\Delta u = 0$ 通用原料：$r^n, r^{-n}, \ln r, \text{const}$ 和 $\sin n\theta, \cos n\theta$。

分类依据：区域是否包含圆心 ($0$) 和无穷远 ($\infty$)。

1. 圆内问题 ($r < a$)

• 去除项： $\ln r$ (在0处无穷), $r^{-n}$ (在0处无穷)
• 解的形式： $$ u(r,\theta) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty r^n (A_n \cos n\theta + B_n \sin n\theta) $$
• (这是最常用的泊松积分公式的前身)

2. 圆外问题 ($r > a$)

• 去除项： $r^n$ (在$\infty$处发散), $\ln r$ (通常去除，除非有源)
• 解的形式： $$ u(r,\theta) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{r^n} (A_n \cos n\theta + B_n \sin n\theta) $$

3. 圆环问题 ($a < r < b$)

• 去除项： 无。所有项都保留。
• 解的形式： $$ u(r,\theta) = A_0 + B_0 \ln r + \sum_{n=1}^\infty (C_n r^n + D_n r^{-n})(A_n \cos n\theta + B_n \sin n\theta) $$

终极速查表 (Cheat Sheet)

做题套路总结：

1. 定方程： 决定了时间项 ($T$) 还是双曲项 ($Y$)。
2. 看边界 (x/齐次方向)：
   • $0, 0 \rightarrow \sin$
   • $0’, 0’ \rightarrow \cos$ (注意 $n=0$ 常数项)
   • $0, 0’ \rightarrow \sin((n+0.5)\dots)$
3. 看区域 (极坐标)：
   • 有圆心 $\rightarrow$ 留 $r^n$
   • 有无穷 $\rightarrow$ 留 $r^{-n}$