收到。这不仅是一次简单的整合，更是一次根据你最新的复习侧重点（20分共形映射+基础概念挖根）进行的战略升级。

我将原来的基础篇与进阶篇完美融合，并针对共形映射进行了地毯式加固，同时严格执行你的要求：每一个定理都要拷问其成立的前提条件。

这是一份针对《复变函数》全书概念的终极质检单。

第一部分：初等函数与复数基础（地基篇）

1. 指数函数 $e^z$

• 周期性：$e^z$ 的周期是多少？（注意：是 $2\pi$ 还是 $2\pi i$？）
• 非零性：方程 $e^z = 0$ 有解吗？条件：在有限复平面内，为什么它永远不等于零？
• 模与角：$|e^{x+iy}|$ 仅由实部 $x$ 决定吗？$\text{Arg}(e^{x+iy})$ 仅由虚部 $y$ 决定吗？
• 映射：$w=e^z$ 将带状区域 $0 < y < \pi$ 映射为什么区域？（是整个上半平面吗？）

2. 对数与幂函数

• 多值性：$\text{Ln } z$ 的多值性来源于哪一个几何量（幅角）的不确定性？
• 主值支解析条件：$\ln z$（主值）在负实轴及原点上解析吗？条件：若要在某个区域内谈 $\ln z$ 的解析分支，该区域必须满足什么几何特征？（不能包含什么？）
• 幂函数定义：$z^a$ 的严格定义是什么？它是单值的还是多值的？条件：当 $a$ 满足什么条件时，$z^a$ 才是单值函数？（整数？有理数？复数？）

第二部分：导数、解析与调和函数（微积分基础）

3. C-R 方程与可导

• C-R 方程：$u_x, u_y, v_x, v_y$ 必须满足什么关系？（背诵！）
• 充分性陷阱：仅仅满足 C-R 方程就能保证函数可导吗？条件：偏导数本身还需要满足什么性质？（是否需要连续？）
• 解析的定义：$f(z)$ 在 $z_0$ 点解析，是指仅在该点可导，还是要在该点的某个邻域内处处可导？

4. 调和函数

• 定义：满足什么方程的函数叫调和函数？
• 共轭条件：如果 $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数，即 $u+iv$ 解析。那么 $u$ 是 $v$ 的共轭调和函数吗？（提示：符号是否要变？）条件：构造解析函数的前提是 $u$ 和 $v$ 所在的区域必须是什么类型的？（单连通？）

第三部分：复积分（计算工具库）

5. 积分基础与牛顿-莱布尼茨公式

• 路径无关性：在什么条件下，积分与路径无关？条件：区域 $D$ 需要是单连通吗？函数 $f(z)$ 需解析吗？
• 牛顿-莱布尼茨公式：$\int_a^b f(z)dz = F(b) - F(a)$。条件：$f(z)$ 在路径所在的单连通区域内不仅要连续，还必须具有什么（原函数）？或者说必须是解析的吗？

6. 柯西-古萨（Cauchy-Goursat）定理

• 零值判据：$\oint_C f(z)dz = 0$。条件：
  1. $C$ 是简单的闭曲线。
  2. $f(z)$ 在 $C$ 的内部以及边界上，都必须满足什么性质？（少一个点解析行不行？）

7. 柯西积分公式（及其高阶导数）

• 基本公式：$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0} dz$。条件：$z_0$ 必须在 $C$ 的哪一侧？
• 高阶形式：求 $n$ 阶导数时，被积函数分母的幂次是 $n$ 还是 $n+1$？前面的系数有一项阶乘，是 $n!$ 吗？

8. 平均值定理与柯西不等式

• 平均值定理：解析函数在圆心的值 $f(z_0)$ 等于它在圆周上取值的积分平均吗？条件：整个圆面（含边界）内必须解析吗？
• 柯西不等式：$|f^{(n)}(z_0)| \le \frac{n! M}{R^n}$。这里 $M$ 是什么？$R$ 是什么？这个不等式常用于证明刘维尔定理，这暗示了有界整函数只能是什么函数？

第四部分：级数与留数（解题核心）

9. Taylor 与 Laurent 级数

• 展开唯一性：同一个函数在不同圆环域内的 Laurent 展开式相同吗？
• 收敛域形态：Taylor 级数的收敛域一定是圆吗？Laurent 级数的收敛域一定是圆环吗？

10. 奇点与留数

• 奇点分类：$\lim_{z \to z_0} f(z)$ 不存在且有界，这是不可能的。如果极限不存在且不为 $\infty$，是什么奇点？
• 计算公式：
  • 如果是单极点，$Res = \lim (z-z_0)f(z)$。
  • 如果是 $P/Q$ 型单极点，公式是 $P(z_0)/Q’(z_0)$ 吗？条件：$Q’(z_0)$ 能等于 0 吗？
  • 如果是 $m$ 阶极点，极限式中导数要在这个基础上求几阶？（$m-1$阶？）

第五部分：共形映射（20分重点 - 必须死磕）

11. 共形映射的定义

• 几何特征：所谓“共形”，必须同时满足哪两个性质？（保角性和保伸缩率性？）。
• 判别据：$w=f(z)$ 在 $z_0$ 实现共形映射的充要条件是什么？条件：1. 解析。2. 导数 $f’(z_0) \neq$ 多少？
• 方向性：解析变换保持角度的大小和旋转方向，如果是 $\bar{z}$ 这样的共轭变换，保角但方向如何？它是共形映射吗？

12. 分式线性变换 (L.F.T/Möbius)

• 定义式：$w = \frac{az+b}{cz+d}$。条件：为保证不是常数，$ad-bc$ 必须满足什么条件？（不为零）。
• 保圆性：为什么说它一定把“圆变为圆”？条件：在复数域中，直线被视作半径无穷大的圆吗？
• 三点定式：任给 $z$ 平面三点到 $w$ 平面三点的映射是唯一确定的吗？这通常是解题的通法。

13. 两个核心映射模型（必背！）

• 单位圆到单位圆：把 $|z|<1$ 映射为 $|w|<1$ 的一般形式是 $w = e^{i\theta} \frac{z-a}{1-\bar{a}z}$。
  • 理解：这里的 $a$ 是 $z$ 平面内部哪个点被映射到了 $w$ 平面的原点？
  • 边界：圆周 $|z|=1$ 上的点模长计算结果一定是 1 吗？
• 上半平面到单位圆：把 Im $z > 0$ 映射为 $|w|<1$ 的一般形式是 $w = e^{i\theta} \frac{z-a}{z-\bar{a}}$。
  • 条件：参数 $a$ 的虚部必须满足 Im $a > 0$ 吗？
  • 理解：$z-\bar{a}$ 在分母，意味着下半平面的点 $\bar{a}$ 成了奇点，这点合理吗？（映射区域不含奇点）。

14. 幂函数与其他初等映射（预处理）

• 角形域处理：如果要处理一个顶角为 $\alpha$ 的角形区域（比如第一象限 $\alpha = \pi/2$），应该先用什么幂函数 $w=z^k$ 把它“拉”成上半平面？（$k$ 与 $\alpha$ 的关系是 $k = \pi / \alpha$ 吗？）
• 带状域处理：将无穷长带状区域转化，通常使用指数函数 $e^z$ 还是对数函数？

第六部分：积分变换（高频考点）

15. Fourier 变换

• 常见函数：
  • $\delta(t)$ 的傅里叶变换是 1。
  • 常数 $1$ 的傅里叶变换是 $2\pi\delta(\omega)$ 吗？
  • $e^{-a|t|} (a>0)$ 的变换结果是洛伦兹线型（$ \frac{2a}{\omega^2 + a^2}$）吗？
• 微分性质：$f’(t) \leftrightarrow i\omega F(\omega)$。条件：这是在时域求导对应频域乘算子吗？

16. Laplace 变换

• 常见函数：
  • 阶跃函数 $u(t)$ 的变换是 $1/s$ 吗？
  • $e^{at}$ 的变换是 $\frac{1}{s-a}$ 吗？
  • $\sin \omega t$ 和 $\cos \omega t$ 的变换分母都是 $s^2+\omega^2$，分子分别是什么？（一个是 $\omega$，一个是 $s$，哪个对哪个？）
• 解微分方程：
  • 导数性质：$\mathcal{L}[y’] = sY(s) - y(0)$，那么 $\mathcal{L}[y’’]$ 等于什么？别忘了减去初值项 $s y(0)$ 和 $y’(0)$。
  • 求解逻辑：1. 变换变代数方程 -> 2. 解出 $Y(s)$ -> 3. ? (最后一步一定要进行什么变换？逆变换回到 $t$ 域)。

最后嘱咐： 请对照着这个列表，盖上右边的答案（或者心理预期的答案），如果对于任何一个“条件”或者“公式细节”有迟疑，不要猜测，立刻去查书上那一行的原文。概念题的陷阱就在“非零”、“单连通”、“边界含不含”这些细节里。祝复习顺利！