共形变换

没问题，听你的建议！既然儒可夫斯基变换超纲，那我们就把它删掉，把火力集中在分式线性映射这个“绝对核心”上，并辅以幂函数和指数函数。

分式线性映射是复变函数考试中最灵活、考法最多的部分，确实值得“深挖”。这里为你整理一份加强版的总结：

通式：

$$w = \frac{az+b}{cz+d} \quad (ad-bc \neq 0)$$

核心性质（保圆性）：它将扩充复平面上的**“广义圆”（圆或直线）映射为“广义圆”**。

考试中，如果题目没有强制要求用三点法，直接套用这两个公式最快。

(1) 上半平面 $\leftrightarrow$ 单位圆（最常考） 将上半平面 $\text{Im}(z) > 0$ 映射为单位圆 $|w| < 1$。

$$ w = e^{i\theta} \frac{z - z_0}{z - \bar{z}_0} $$

参数含义：
- $z_0$：上半平面内的一点，它被映射为圆心 $w=0$（即 $f(z_0)=0$）。
- $\theta$：旋转因子，由边界上的点的对应关系确定。
特例：最常用的简单形式是把 $i \to 0$： $$ w = \frac{z-i}{z+i} $$

(2) 单位圆 $\leftrightarrow$ 单位圆（圆内自同构） 将单位圆 $|z| < 1$ 映射为单位圆 $|w| < 1$。

$$ w = e^{i\theta} \frac{z - a}{1 - \bar{a}z} $$

当题目明确给出边界上的三个点映射到另外三个点（如 $z_1, z_2, z_3 \to w_1, w_2, w_3$）时，使用此公式。

公式：

$$ \frac{w-w_1}{w-w_2} \cdot \frac{w_3-w_2}{w_3-w_1} = \frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot \frac{z_3-z_2}{z_3-z_1} $$

处理 $\infty$ 的规则（重要）： 如果某个点是 $\infty$，则包含该点的分子和分母的那一项直接划掉（视为1）。

算出解析式后，如何确定是映射到了圆内还是圆外？

定向原则（右手定则/左手定则）：当你沿着边界的正方向走时，如果区域在你的左边，那么映射后，区域依然在边界的左边。
- 应用：比如把 $z$ 平面实轴上的 $-1, 0, 1$ 映射为 $w$ 平面单位圆上的 $-i, 1, i$。你在 $z$ 轴上从左向右走（$-1 \to 0 \to 1$），上半平面在左边。看 $w$ 平面，$-i \to 1 \to i$ 是逆时针，圆内也在左边。说明映射的是内部。

这是解高难度题的捷径。原理：关于边界对称的两个点 $z_1, z_2$，映射后 $w_1, w_2$ 依然关于新边界对称。

直线的对称点：就是几何镜面对称（共轭）。
圆的对称点：$z$ 和 $z^$ 关于圆心为 $a$、半径为 $R$ 的圆对称，满足 $(z-a)(\overline{z^-a}) = R^2$。特别地，关于单位圆，对称点互为倒数的共轭 $z^* = 1/\bar{z}$。
考题应用：如果题目说把上半平面映射成单位圆，且 $f(i) = 0$。
- 因为 $i$ 映射到圆心 $0$。
- $i$ 关于实轴（边界）的对称点是 $-i$。
- 所以 $-i$ 必须映射到 $0$ 关于单位圆（边界）的对称点 $\infty$。
- 立刻就能写出因子：分子有 $(z-i)$，分母有 $(z+i)$。

这两类函数主要负责**“整形”，把不规则区域变成可以用分式线性映射处理的上半平面**。

功能：把顶点在原点的角形域（扇形）张开或合拢。
公式：若区域为角 $\alpha < \arg z < \beta$（张角为 $\varphi = \beta-\alpha$），想把它变成上半平面（张角 $\pi$）。 $$ w = e^{-i\alpha \cdot \frac{\pi}{\varphi}} \cdot z^{\frac{\pi}{\varphi}} $$ (通常只要旋转到第一边与实轴重合，然后直接乘倍数即可)
常用速查：
- 第一象限 $\to$ 上半平面：$w = z^2$
- 上半圆（半圆盘） $\to$ 第一象限：先用分式线性映射把半圆变直角，再用幂函数。

功能：把平行带形区域映射为角形域或半平面。
公式：对于宽度为 $h$ 的带形域。 $$ w = e^{\frac{\pi}{h} z} $$
常用速查：
- 带形 $0 < \text{Im}(z) < \pi$ $\to$ 上半平面：$w = e^z$
- 带形 $0 < \text{Im}(z) < h$ $\to$ 上半平面：$w = e^{\frac{\pi z}{h}}$

看形状：
- 是扇形？ $\to$ 用幂函数 $z^\mu$ 变成上半平面。
- 是带子？ $\to$ 用指数 $e^z$ 变成上半平面。
- 是两个圆弧围成的月牙/眼睛？ $\to$ 用分式线性映射，把两个交点分别送到 $0$ 和 $\infty$，把它变成角形域，再用幂函数。
最后一步（定型）：
- 现在你手里一定是上半平面了。
- 如果题目要上半平面，收工。
- 如果题目要单位圆，用标准公式 $w = \frac{z-z_0}{z-\bar{z}_0}$ 收工。